# 装备掉落等级

在击败怪物后获得的装备通常具有一个随机的等级，本文将介绍这一等级的计算方式和相关的参考数值。

## 掉落等级计算

每个怪物都有其对应的等级，其掉落的装备的等级通常基于这一等级。怪物的等级为`M`时，其掉落的装备等级`E`的计算过程为：

1. 生成5个随机数，取自`[0, 1]`的均匀分布。
2. 计算随机数的和`S`，取这5个随机数的平均值, 记为`R`。
3. 换算为掉落等级`E`: `E = floor((0.5 + R * 0.5) * M)`

## 掉落等级分布

上一节中的随机数和`S`符合参数为5的Irwin-Hall分布，（当随机数的数量逐渐增大时，Irwin-Hall分布趋近于正态分布）。

Irwin-Hall分布的概率密度和分布函数为：

$$PDF=\frac{1}{(n-1)!} \sum\_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} (x - k)^{n-1}$$

$$CDF=\frac{1}{n!} \sum\_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} (x - k)^n$$

其中`n`为随机数的数量，该函数为`x`的分段函数，`k`表示每一个长度为1的分段的整数部分。

转换为随机数的平均值后，其概率分布表格如下（`R`为平均值，`CDF`为累积分布函数，近似到四位小数）：

| R    | CDF    | R    | CDF    | R    | CDF    | R    | CDF    |
| ---- | ------ | ---- | ------ | ---- | ------ | ---- | ------ |
| 0.00 | 0.0000 | 0.25 | 0.0254 | 0.50 | 0.5000 | 0.75 | 0.9746 |
| 0.05 | 0.0000 | 0.30 | 0.0620 | 0.55 | 0.6465 | 0.80 | 0.9917 |
| 0.10 | 0.0003 | 0.35 | 0.1269 | 0.60 | 0.7750 | 0.85 | 0.9980 |
| 0.15 | 0.0020 | 0.40 | 0.2250 | 0.65 | 0.8731 | 0.90 | 0.9997 |
| 0.20 | 0.0083 | 0.45 | 0.3535 | 0.70 | 0.9380 | 0.95 | 1.0000 |

## 掉落等级概率参考

根据上述的分布函数，可以对应得到掉落等级的分布，以下表格列出了怪物掉落的装备的等级至少是多少的概率。 其中`P`表示装备等级在怪物等级`M`中的比例，实际的掉落等级`E`为`floor(P * M)`。

| P     | Rate    | P     | Rate   | P     | Rate   | P     | Rate  |
| ----- | ------- | ----- | ------ | ----- | ------ | ----- | ----- |
| 50%   | 100.00% | 62.5% | 97.46% | 75%   | 50.00% | 87.5% | 2.54% |
| 52.5% | 100.00% | 65%   | 93.80% | 77.5% | 35.35% | 90%   | 0.83% |
| 55%   | 99.97%  | 67.5% | 87.31% | 80%   | 22.50% | 92.5% | 0.20% |
| 57.5% | 99.70%  | 70%   | 76.47% | 82.5% | 12.69% | 95%   | 0.03% |
| 60%   | 99.17%  | 72.5% | 64.65% | 85%   | 6.20%  | 97.5% | 0.00% |

由上表可知，对于等级固定的怪物，其掉落的装备等级有50%的概率大于等于怪物等级的75%。

而大于等于怪物等级85%的装备掉落概率仅为6.20%，大于等于怪物等级95%的装备掉落概率只有0.03%。

装备图鉴和手册中的装备等级通常是怪物等级的75%附近的值，在实际游戏中有接近一半的概率可以获得至少为标出等级的装备。

装备掉落等级在各个区间内的分布概率如下表：

| P-P       | Rate  | P-P       | Rate   | P-P       | Rate   | P-P        | Rate  |
| --------- | ----- | --------- | ------ | --------- | ------ | ---------- | ----- |
| 50%-52.5% | 0.00% | 62.5%-65% | 3.66%  | 75%-77.5% | 14.65% | 87.5%-90%  | 1.71% |
| 52.5%-55% | 0.03% | 65%-67.5% | 6.49%  | 77.5%-80% | 12.85% | 90%-92.5%  | 0.63% |
| 55%-57.5% | 0.27% | 67.5%-70% | 10.84% | 80%-82.5% | 9.81%  | 92.5%-95%  | 0.17% |
| 57.5%-60% | 0.53% | 70%-72.5% | 11.82% | 82.5%-85% | 6.49%  | 95%-97.5%  | 0.03% |
| 60%-62.5% | 1.71% | 72.5%-75% | 14.65% | 85%-87.5% | 3.66%  | 97.5%-100% | 0.00% |


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